2026-04-23

MATLAB 期中考複習筆記 (CH1 ~ CH5)

💡 使用 Ctrl+F 快速查找關鍵字

📌 格式說明：函數名稱 — 功能描述；程式碼以程式碼區塊呈現

數值與顯示格式
基本常數與特殊值
數學函式庫
- 3.1 定義用函式
- 3.2 三角函數
- 3.3 指數與對數函數
- 3.4 算術函數
複數運算
陣列與矩陣
- 5.1 陣列建立語法
- 5.2 標準陣列
- 5.3 亂數矩陣
- 5.4 對角矩陣
- 5.5 陣列運算子
- 5.6 陣列控制與索引
- 5.7 陣列排序與搜尋
- 5.8 陣列極值
- 5.9 陣列顯示與操作函式
向量運算：點積與叉積
繪圖函式
運算子
- 8.1 關係運算子
- 8.2 邏輯運算子
- 8.3 檢查用函式
控制流程
輸入輸出與特別函式
常用指令

1. 數值與顯示格式

指令	說明
`format short`	顯示 5 位有效數字（預設）
`format long`	顯示 15 位（double）或 7 位（float）有效數字
`format short e`	科學記號，5 位有效數字
`format long e`	科學記號，15 位有效數字
`format short g`	固定或浮點格式，5 位
`format long g`	固定或浮點格式，15 位
`format bank`	顯示小數兩位（貨幣計算用）
`format rat`	以分數（有理數）形式顯示

2. 基本常數與特殊值

常數/指令	說明
`pi`	圓周率 π ≈ 3.14159… （可用 `clear pi` 還原）
`i` 或 `j`	虛數單位 √(-1)
`inf`	無窮大 (∞)
`nan`	非數值 (Not a Number)
`eps`	機器精度（最小浮點數差）
`intmax()`	回傳整數最大值
`intmin()`	回傳整數最小值
`realmax`	最大可用正浮點數
`realmin`	最小可用正浮點數

3. 數學函式庫

3.1 定義用函式

函式	說明
`abs(x)`	絕對值
`sign(x)`	符號函數：x>0 回傳1；x=0 回傳0；x<0 回傳-1
`angle(x)`	複數的徑度相位角
`unwrap(x)`	相位角連續性處理（消除相位跳變）

3.2 三角函數（Trigonometric Function）

正/反三角函數（弧度制）：

函式	說明	函式	說明
`sin(x)`	正弦	`asin(x)`	反正弦
`cos(x)`	餘弦	`acos(x)`	反餘弦
`tan(x)`	正切（`sin/cos`）	`atan(x)`	反正切
`cot(x)`	餘切（`cos/sin`）	`acot(x)`	反餘切
`sec(x)`	正割（`1/cos`）	`asec(x)`	反正割
`csc(x)`	餘割（`1/sin`）	`acsc(x)`	反餘割

雙曲函數：

函式	說明	函式	說明
`sinh(x)`	雙曲正弦	`asinh(x)`	反雙曲正弦
`cosh(x)`	雙曲餘弦	`acosh(x)`	反雙曲餘弦
`tanh(x)`	雙曲正切	`atanh(x)`	反雙曲正切
`coth(x)`	雙曲餘切	`acoth(x)`	反雙曲餘切
`sech(x)`	雙曲正割	`asech(x)`	反雙曲正割
`csch(x)`	雙曲餘割	`acsch(x)`	反雙曲餘割

⚠️ 注意：MATLAB 三角函數預設使用弧度（radians），若需角度制，請使用 sind(x)、cosd(x) 等加 d 的版本。

3.3 指數與對數函數（Exponential Function）

函式	說明
`exp(x)`	自然指數 e^x
`log(x)`	自然對數 ln(x)，底數為 e
`log2(x)`	以 2 為底的對數
`log10(x)`	以 10 為底的對數
`sqrt(x)`	開根號 √x
`nthroot(x, n)`	求 x 的 n 次方根（實數根）

3.4 算術函數（Arithmetic Function）

取整函數（四種）：

函式	說明	範例 (`x=2.7`, `x=-2.7`)
`ceil(x)`	無條件進位（往正無限大）	`3`, `-2`
`floor(x)`	無條件捨去（往負無限大）	`2`, `-3`
`round(x)`	四捨五入（最接近整數）	`3`, `-3`
`fix(x)`	截斷小數（往零方向）	`2`, `-2`

其他算術函數：

函式	說明
`mod(x, y)`	x 除以 y 的餘數（結果與 y 同號）
`rem(x, y)`	x 除以 y 的餘數（結果與 x 同號）
`power(x, n)`	x 的 n 次方（等同 `x.^n`）
`gcd(x, y)`	x 與 y 的最大公因數
`lcm(x, y)`	x 與 y 的最小公倍數
`factorial(n)`	n 的階乘 n!

💡 mod 與 rem 的差異：mod(-7, 3) = 2；rem(-7, 3) = -1

4. 複數運算

建立複數：

1 2	z = a + bi % 或 a + bj z = complex(a, b) % 函式建立法

複數操作函式：

函式	說明
`real(z)`	取實數部分
`imag(z)`	取虛數部分
`conj(z)`	取共軛複數 (a - bi)
`abs(z)`	複數模（magnitude）= √(a²+b²)
`angle(z)`	相位角（弧度）
`isreal(z)`	是否為實數（是→1，否→0）

範例：

z = 3 + 4i;
abs(z)      % 回傳 5
angle(z)    % 回傳 0.9273 rad ≈ 53.13°
conj(z)     % 回傳 3 - 4i

5. 陣列與矩陣

5.1 陣列建立語法

% 1. 任意元素之列向量
x = [1, 2, 3, 4];

% 2. 等差數列（步長預設為 1）
x = Start : End;

% 3. 等差數列（自訂步長）
x = Start : Step : End;

% 4. 線性等間距向量（共 n 個元素）
x = linspace(Start, End, n);

% 5. 對數等間距向量（從 10^Start 到 10^End，共 n 個元素）
x = logspace(Start, End, n);

% 6. 行向量（column vector）
x = [1; 2; 3; 4];

% 7. 矩陣（分號分隔列）
A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];

5.2 標準陣列（Standard Array）

函式	說明
`zeros(n)`	n×n 全零矩陣
`zeros(n, m)`	n×m 全零矩陣
`ones(n)`	n×n 全一矩陣
`ones(n, m)`	n×m 全一矩陣
`eye(n)`	n×n 單位矩陣（對角線為1）
`true(n)`	n×n 邏輯真值矩陣
`false(n)`	n×n 邏輯假值矩陣

5.3 亂數矩陣（Random Number Array）

函式	說明
`rand(n)`	n×n 均勻分布亂數矩陣（0~1）
`rand(n, m)`	n×m 均勻分布亂數矩陣（0~1）
`randn(n)`	n×n 標準常態分布亂數矩陣（含負值）
`randn(n, m)`	n×m 標準常態分布亂數矩陣
`randi(imax, n)`	n×n 均勻分布整數亂數矩陣（1~imax）

5.4 對角矩陣（diag）

diag(v) — 將向量 v 排在對角線上，生成對角矩陣

>> diag(1:3)
ans =
    1    0    0
    0    2    0
    0    0    3

diag(v, k) — 偏移 k 個位置的對角

>> diag(1:2, 1)    % 上偏移1
ans =
    0    1    0
    0    0    2
    0    0    0

>> diag(1:2, -1)   % 下偏移1
ans =
    0    0    0
    1    0    0
    0    2    0

💡 diag(A) 若輸入是矩陣，則提取其對角線元素，回傳向量。

5.5 陣列運算子

基本運算：

運算子	說明
`+`	矩陣/純量加法
`-`	矩陣/純量減法
`*`	矩陣乘法（線性代數）
`/`	矩陣右除（A/B = A×B⁻¹）
`\`	矩陣左除（A\B = A⁻¹×B）
`^`	矩陣次方

逐元素（Element-wise）運算：

運算子	說明
`.*`	逐元素相乘
`./`	逐元素右相除
`.\`	逐元素左相除
`.^`	逐元素次方

a = [1, 2, 3];
b = [4, 5, 6];

a .* b   % [4, 10, 18] — 逐元素相乘
a .^ 2   % [1,  4,  9] — 逐元素平方
2 .^ a   % [2,  4,  8] — 2的各次方

5.6 陣列控制與索引

A = [1, 2, 3; 4, 5, 6];

% 取得元素
A(1, 2)          % 第1列第2行 → 2
A(2, :)          % 第2列全部 → [4, 5, 6]
A(:, 1)          % 第1行全部 → [1; 4]
A(1:2, 2:3)      % 子矩陣

% 修改元素
A(1, 1) = 7      % 修改第1列第1行為7
A(:, 2) = 3      % 第2行全部改為3
A(:, 2) = [3; 3] % 效果同上

% 刪除列/行
A(1, :) = []     % 刪除第1列
A(:, 2) = []     % 刪除第2行

% 陣列資訊
size(A)          % 回傳 [列數, 行數]
length(A)        % 回傳最大維度長度
numel(A)         % 回傳總元素個數
ndims(A)         % 回傳維度數

5.7 陣列排序與搜尋

排序：

函式	說明
`sort(x)`	一維陣列由小至大排序
`sort(x, dim)`	沿指定維度排序（dim=1: 按列；dim=2: 按行）
`sort(x, 'ascend')`	升冪排序（預設）
`sort(x, 'descend')`	降冪排序
`[sorted, idx] = sort(x)`	同時回傳排序後陣列和原始索引
`sortrows(A, col)`	按指定行排序矩陣的列

搜尋：

函式	說明
`find(condition)`	回傳符合條件的索引（一維）
`[i, j] = find(condition)`	回傳符合條件的列索引 i 與行索引 j（二維）

1
2
3

x = [3, 1, 4, 1, 5, 9];
find(x > 3)          % 回傳 [3, 5, 6]（索引）
find(x == max(x))    % 找出最大值的索引

5.8 陣列極值

函式	說明
`max(x)`	最大值
`min(x)`	最小值
`[mx, id] = max(x)`	最大值與其索引
`[mn, id] = min(x)`	最小值與其索引
`max(A, [], dim)`	沿指定維度取最大值
`sum(x)`	元素總和
`prod(x)`	元素連乘積
`mean(x)`	平均值
`median(x)`	中位數
`std(x)`	標準差
`var(x)`	變異數
`cumsum(x)`	累積加總

5.9 陣列顯示與操作函式

函式	說明
`flipud(x)`	上下翻轉
`fliplr(x)`	左右翻轉
`rot90(x)`	逆時針旋轉 90°
`rot90(x, k)`	逆時針旋轉 k×90°
`reshape(x, n, m)`	重新排列為 n 列 m 行（總元素數需相同）
`triu(x)`	上三角矩陣（其餘設為0）
`tril(x)`	下三角矩陣（其餘設為0）
`kron(x, y)`	Kronecker 張量積
`repmat(x, [n, m])`	將 x 複製 n×m 次
`cat(dim, A, B)`	沿指定維度拼接矩陣
`horzcat(A, B)`	水平拼接（等同 `[A, B]`）
`vertcat(A, B)`	垂直拼接（等同 `[A; B]`）
`transpose(A)` 或 `A.'`	轉置（不取共軛）
`A'`	共軛轉置（Hermitian transpose）

6. 向量運算：點積與叉積

點積（Dot Product / Scalar Product）：

1	dot(a, b) % 回傳純量

定義：a·b = |a||b|cos(θ) = Σ(aᵢ × bᵢ)

叉積（Cross Product / Vector Product）：

1	cross(a, b) % 回傳向量（僅適用三維向量）

定義：a × b 的結果垂直於 a 與 b 所構成的平面，大小為 |a||b|sin(θ)

a = [1, 0, 0];
b = [0, 1, 0];
dot(a, b)    % → 0（互相垂直）
cross(a, b)  % → [0, 0, 1]（z 軸方向）

7. 繪圖函式

基本繪圖：

函式	說明
`plot(x, y)`	二維折線圖
`plot(x, y, 'style')`	帶樣式的折線圖（如 `'r--o'`）
`fplot('func')`	繪製函數圖形（較精確）
`ezplot('func')`	簡易函數圖形（舊版，建議改用 `fplot`）
`scatter(x, y)`	散點圖
`bar(x, y)`	長條圖
`histogram(x)`	直方圖
`stem(x, y)`	莖葉圖（離散訊號）

三維繪圖：

函式	說明
`plot3(x, y, z)`	三維折線圖
`surf(X, Y, Z)`	三維曲面圖
`mesh(X, Y, Z)`	三維網格圖
`contour(Z)`	等高線圖

圖形控制：

grid on          % 開啟格線
grid off         % 關閉格線
grid minor       % 細緻格線
hold on          % 保持當前圖形（疊加繪圖）
hold off         % 取消保持
xlabel('text')   % x 軸標籤
ylabel('text')   % y 軸標籤
title('text')    % 圖形標題
legend('A','B')  % 圖例
axis([xmin xmax ymin ymax])  % 設定軸範圍
figure           % 開新圖形視窗
subplot(m, n, p) % 子圖排列

8. 運算子

8.1 關係運算子

運算子	說明	運算子	說明
`<`	小於	`>`	大於
`<=`	小於或等於	`>=`	大於或等於
`==`	等於	`~=`	不等於

⚠️ 注意：MATLAB 使用 ~= 表示不等於，不是 !=

8.2 邏輯運算子

運算子	函式	說明
`&`	`and(a,b)`	逐元素 AND
`\|`	`or(a,b)`	逐元素 OR
`~`	`not(a)`	邏輯 NOT
`&&`	—	短路 AND（用於純量，if/while 常用）
`\|\|`	—	短路 OR（用於純量，if/while 常用）
`xor(a,b)`	—	互斥 OR

8.3 檢查用函式

函式	說明
`all(x)`	所有元素非零則回傳 1（True）
`any(x)`	有任一元素非零則回傳 1
`find(x)`	非零元素的索引位置
`isfinite(x)`	元素是否為有限值
`isinf(x)`	元素是否為無限值
`isnan(x)`	元素是否為 NaN
`isnumeric(x)`	是否為數值型別
`isempty(x)`	是否為空陣列
`isstr(x)` / `ischar(x)`	是否為字串
`islogical(x)`	是否為邏輯型別
`isinteger(x)`	是否為整數型別

9. 控制流程

for 迴圈

% 基本用法
for i = 1:10
    disp(i);
end

% 自訂步長
for x = 0 : 0.5 : 2
    disp(x);
end

% 迭代陣列
for col = A      % A 的每一行（column）
    disp(col);
end

while 迴圈

x = 1;
while x < 100
    x = x * 2;
end
disp(x);

if / elseif / else

score = 85;

if score >= 90
    disp('A');
elseif score >= 80
    disp('B');
elseif score >= 70
    disp('C');
else
    disp('F');
end

switch / case

day = 3;

switch day
    case 1
        disp('Monday');
    case 2
        disp('Tuesday');
    case 3
        disp('Wednesday');
    case {6, 7}          % 多值可用 cell array
        disp('Weekend');
    otherwise
        disp('Unknown');
end

迴圈控制關鍵字

關鍵字	說明
`break`	立即跳出最近的迴圈
`continue`	跳過本次迭代，繼續下次
`return`	結束目前函式/腳本

10. 輸入輸出與特別函式

函式	說明
`input('msg')`	提示使用者輸入數值
`input('msg', 's')`	提示使用者輸入字串
`disp(x)`	顯示數值或字串（不顯示變數名）
`fprintf('fmt', x)`	格式化輸出（類似 C 的 printf）
`sprintf('fmt', x)`	格式化字串（不輸出，回傳字串）
`pause(n)`	暫停 n 秒
`pause`	暫停，等待任意鍵
`waitforbuttonpress`	等待鍵盤或滑鼠點擊
`beep`	發出系統提示音

fprintf 格式符號：

1
2
3

fprintf('Value = %d\n', 42);     % 整數
fprintf('Pi = %.4f\n', pi);      % 浮點數（4位小數）
fprintf('Name = %s\n', 'MATLAB'); % 字串

11. 常用指令

指令	說明
`who`	列出工作區所有變數名稱
`whos`	列出變數詳細資訊（含大小與型別）
`clear`	清除所有變數
`clear x`	清除指定變數 x
`clc`	清除命令視窗輸出
`close all`	關閉所有圖形視窗
`edit`	開啟腳本編輯器
`help func`	查詢函式說明
`doc func`	開啟函式詳細文件
`echo on`	執行腳本時顯示每行指令
`echo off`	不顯示腳本內容（預設）
`quit` / `exit`	結束 MATLAB
`tic` / `toc`	計時開始 / 顯示經過時間

快速記憶表：取整四函式比較

	`ceil`	`floor`	`round`	`fix`
方向	往 +∞	往 -∞	最近整數	往 0
`2.3`	`3`	`2`	`2`	`2`
`2.7`	`3`	`2`	`3`	`2`
`-2.3`	`-2`	`-3`	`-2`	`-2`
`-2.7`	`-2`	`-3`	`-3`	`-2`

快速記憶表：`mod` vs `rem`

	`mod(x, y)`	`rem(x, y)`
餘數符號	與除數 y 相同	與被除數 x 相同
`mod(7, 3)`	`1`	`1`
`mod(-7, 3)`	`2`	`-1`
`mod(7, -3)`	`-2`	`1`

📝 建議學習資源

MATLAB 官方文件：mathworks.com/help/matlab

使用 help <函式名> 或 doc <函式名> 在 MATLAB 中查詢即時說明

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