MATLAB 期中考複習筆記 (CH1 ~ CH5)

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📌 格式說明：函數名稱 — 功能描述；程式碼以程式碼區塊呈現

目錄

  1. 數值與顯示格式
  2. 基本常數與特殊值
  3. 數學函式庫
  4. 複數運算
  5. 陣列與矩陣
  6. 向量運算：點積與叉積
  7. 繪圖函式
  8. 運算子
  9. 控制流程
  10. 輸入輸出與特別函式
  11. 常用指令

1. 數值與顯示格式

指令 說明
format short 顯示 5 位有效數字（預設）
format long 顯示 15 位（double）或 7 位（float）有效數字
format short e 科學記號，5 位有效數字
format long e 科學記號，15 位有效數字
format short g 固定或浮點格式，5 位
format long g 固定或浮點格式，15 位
format bank 顯示小數兩位（貨幣計算用）
format rat 以分數（有理數）形式顯示

2. 基本常數與特殊值

常數/指令 說明
pi 圓周率 π ≈ 3.14159… （可用 clear pi 還原）
i 或 j 虛數單位 √(-1)
inf 無窮大 (∞)
nan 非數值 (Not a Number)
eps 機器精度（最小浮點數差）
intmax() 回傳整數最大值
intmin() 回傳整數最小值
realmax 最大可用正浮點數
realmin 最小可用正浮點數

3. 數學函式庫

3.1 定義用函式

函式 說明
abs(x) 絕對值
sign(x) 符號函數：x>0 回傳1；x=0 回傳0；x<0 回傳-1
angle(x) 複數的徑度相位角
unwrap(x) 相位角連續性處理（消除相位跳變）

3.2 三角函數（Trigonometric Function）

正/反三角函數（弧度制）：

函式 說明 函式 說明
sin(x) 正弦 asin(x) 反正弦
cos(x) 餘弦 acos(x) 反餘弦
tan(x) 正切（sin/cos） atan(x) 反正切
cot(x) 餘切（cos/sin） acot(x) 反餘切
sec(x) 正割（1/cos） asec(x) 反正割
csc(x) 餘割（1/sin） acsc(x) 反餘割

雙曲函數：

函式 說明 函式 說明
sinh(x) 雙曲正弦 asinh(x) 反雙曲正弦
cosh(x) 雙曲餘弦 acosh(x) 反雙曲餘弦
tanh(x) 雙曲正切 atanh(x) 反雙曲正切
coth(x) 雙曲餘切 acoth(x) 反雙曲餘切
sech(x) 雙曲正割 asech(x) 反雙曲正割
csch(x) 雙曲餘割 acsch(x) 反雙曲餘割

⚠️ 注意：MATLAB 三角函數預設使用弧度（radians），若需角度制，請使用 sind(x)、cosd(x) 等加 d 的版本。

3.3 指數與對數函數（Exponential Function）

函式 說明
exp(x) 自然指數 e^x
log(x) 自然對數 ln(x)，底數為 e
log2(x) 以 2 為底的對數
log10(x) 以 10 為底的對數
sqrt(x) 開根號 √x
nthroot(x, n) 求 x 的 n 次方根（實數根）

3.4 算術函數（Arithmetic Function）

取整函數（四種）：

函式 說明 範例 (x=2.7, x=-2.7)
ceil(x) 無條件進位（往正無限大） 3, -2
floor(x) 無條件捨去（往負無限大） 2, -3
round(x) 四捨五入（最接近整數） 3, -3
fix(x) 截斷小數（往零方向） 2, -2

其他算術函數：

函式 說明
mod(x, y) x 除以 y 的餘數（結果與 y 同號）
rem(x, y) x 除以 y 的餘數（結果與 x 同號）
power(x, n) x 的 n 次方（等同 x.^n）
gcd(x, y) x 與 y 的最大公因數
lcm(x, y) x 與 y 的最小公倍數
factorial(n) n 的階乘 n!

💡 mod 與 rem 的差異：mod(-7, 3) = 2；rem(-7, 3) = -1

4. 複數運算

建立複數：

1
2
z = a + bi     % 或 a + bj
z = complex(a, b)   % 函式建立法

複數操作函式：

函式 說明
real(z) 取實數部分
imag(z) 取虛數部分
conj(z) 取共軛複數 (a - bi)
abs(z) 複數模（magnitude）= √(a²+b²)
angle(z) 相位角（弧度）
isreal(z) 是否為實數（是→1，否→0）

範例：

1
2
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4
z = 3 + 4i;
abs(z)      % 回傳 5
angle(z)    % 回傳 0.9273 rad ≈ 53.13°
conj(z)     % 回傳 3 - 4i

5. 陣列與矩陣

5.1 陣列建立語法

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% 1. 任意元素之列向量
x = [1, 2, 3, 4];

% 2. 等差數列（步長預設為 1）
x = Start : End;

% 3. 等差數列（自訂步長）
x = Start : Step : End;

% 4. 線性等間距向量（共 n 個元素）
x = linspace(Start, End, n);

% 5. 對數等間距向量（從 10^Start 到 10^End，共 n 個元素）
x = logspace(Start, End, n);

% 6. 行向量（column vector）
x = [1; 2; 3; 4];

% 7. 矩陣（分號分隔列）
A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];

5.2 標準陣列（Standard Array）

函式 說明
zeros(n) n×n 全零矩陣
zeros(n, m) n×m 全零矩陣
ones(n) n×n 全一矩陣
ones(n, m) n×m 全一矩陣
eye(n) n×n 單位矩陣（對角線為1）
true(n) n×n 邏輯真值矩陣
false(n) n×n 邏輯假值矩陣

5.3 亂數矩陣（Random Number Array）

函式 說明
rand(n) n×n 均勻分布亂數矩陣（0~1）
rand(n, m) n×m 均勻分布亂數矩陣（0~1）
randn(n) n×n 標準常態分布亂數矩陣（含負值）
randn(n, m) n×m 標準常態分布亂數矩陣
randi(imax, n) n×n 均勻分布整數亂數矩陣（1~imax）

5.4 對角矩陣（diag）

diag(v) — 將向量 v 排在對角線上，生成對角矩陣

1
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>> diag(1:3)
ans =
    1    0    0
    0    2    0
    0    0    3

diag(v, k) — 偏移 k 個位置的對角

1
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>> diag(1:2, 1)    % 上偏移1
ans =
    0    1    0
    0    0    2
    0    0    0

>> diag(1:2, -1)   % 下偏移1
ans =
    0    0    0
    1    0    0
    0    2    0

💡 diag(A) 若輸入是矩陣，則提取其對角線元素，回傳向量。

5.5 陣列運算子

基本運算：

運算子 說明
+ 矩陣/純量加法
- 矩陣/純量減法
* 矩陣乘法（線性代數）
/ 矩陣右除（A/B = A×B⁻¹）
\ 矩陣左除（A\B = A⁻¹×B）
^ 矩陣次方

逐元素（Element-wise）運算：

運算子 說明
.* 逐元素相乘
./ 逐元素右相除
.\ 逐元素左相除
.^ 逐元素次方 
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a = [1, 2, 3];
b = [4, 5, 6];

a .* b   % [4, 10, 18] — 逐元素相乘
a .^ 2   % [1,  4,  9] — 逐元素平方
2 .^ a   % [2,  4,  8] — 2的各次方

5.6 陣列控制與索引

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A = [1, 2, 3; 4, 5, 6];

% 取得元素
A(1, 2)          % 第1列第2行 → 2
A(2, :)          % 第2列全部 → [4, 5, 6]
A(:, 1)          % 第1行全部 → [1; 4]
A(1:2, 2:3)      % 子矩陣

% 修改元素
A(1, 1) = 7      % 修改第1列第1行為7
A(:, 2) = 3      % 第2行全部改為3
A(:, 2) = [3; 3] % 效果同上

% 刪除列/行
A(1, :) = []     % 刪除第1列
A(:, 2) = []     % 刪除第2行

% 陣列資訊
size(A)          % 回傳 [列數, 行數]
length(A)        % 回傳最大維度長度
numel(A)         % 回傳總元素個數
ndims(A)         % 回傳維度數

5.7 陣列排序與搜尋

排序：

函式 說明
sort(x) 一維陣列由小至大排序
sort(x, dim) 沿指定維度排序（dim=1: 按列；dim=2: 按行）
sort(x, 'ascend') 升冪排序（預設）
sort(x, 'descend') 降冪排序
[sorted, idx] = sort(x) 同時回傳排序後陣列和原始索引
sortrows(A, col) 按指定行排序矩陣的列

搜尋：

函式 說明
find(condition) 回傳符合條件的索引（一維）
[i, j] = find(condition) 回傳符合條件的列索引 i 與行索引 j（二維） 
1
2
3
x = [3, 1, 4, 1, 5, 9];
find(x > 3)          % 回傳 [3, 5, 6]（索引）
find(x == max(x))    % 找出最大值的索引

5.8 陣列極值

函式 說明
max(x) 最大值
min(x) 最小值
[mx, id] = max(x) 最大值與其索引
[mn, id] = min(x) 最小值與其索引
max(A, [], dim) 沿指定維度取最大值
sum(x) 元素總和
prod(x) 元素連乘積
mean(x) 平均值
median(x) 中位數
std(x) 標準差
var(x) 變異數
cumsum(x) 累積加總

5.9 陣列顯示與操作函式

函式 說明
flipud(x) 上下翻轉
fliplr(x) 左右翻轉
rot90(x) 逆時針旋轉 90°
rot90(x, k) 逆時針旋轉 k×90°
reshape(x, n, m) 重新排列為 n 列 m 行（總元素數需相同）
triu(x) 上三角矩陣（其餘設為0）
tril(x) 下三角矩陣（其餘設為0）
kron(x, y) Kronecker 張量積
repmat(x, [n, m]) 將 x 複製 n×m 次
cat(dim, A, B) 沿指定維度拼接矩陣
horzcat(A, B) 水平拼接（等同 [A, B]）
vertcat(A, B) 垂直拼接（等同 [A; B]）
transpose(A) 或 A.' 轉置（不取共軛）
A' 共軛轉置（Hermitian transpose）

6. 向量運算：點積與叉積

點積（Dot Product / Scalar Product）：

1
dot(a, b)   % 回傳純量

定義：a·b = |a||b|cos(θ) = Σ(aᵢ × bᵢ)

叉積（Cross Product / Vector Product）：

1
cross(a, b)   % 回傳向量（僅適用三維向量）

定義：a × b 的結果垂直於 a 與 b 所構成的平面，大小為 |a||b|sin(θ)

1
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a = [1, 0, 0];
b = [0, 1, 0];
dot(a, b)    % → 0（互相垂直）
cross(a, b)  % → [0, 0, 1]（z 軸方向）

7. 繪圖函式

基本繪圖：

函式 說明
plot(x, y) 二維折線圖
plot(x, y, 'style') 帶樣式的折線圖（如 'r--o'）
fplot('func') 繪製函數圖形（較精確）
ezplot('func') 簡易函數圖形（舊版，建議改用 fplot）
scatter(x, y) 散點圖
bar(x, y) 長條圖
histogram(x) 直方圖
stem(x, y) 莖葉圖（離散訊號）

三維繪圖：

函式 說明
plot3(x, y, z) 三維折線圖
surf(X, Y, Z) 三維曲面圖
mesh(X, Y, Z) 三維網格圖
contour(Z) 等高線圖

圖形控制：

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grid on          % 開啟格線
grid off         % 關閉格線
grid minor       % 細緻格線
hold on          % 保持當前圖形（疊加繪圖）
hold off         % 取消保持
xlabel('text')   % x 軸標籤
ylabel('text')   % y 軸標籤
title('text')    % 圖形標題
legend('A','B')  % 圖例
axis([xmin xmax ymin ymax])  % 設定軸範圍
figure           % 開新圖形視窗
subplot(m, n, p) % 子圖排列

8. 運算子

8.1 關係運算子

運算子 說明 運算子 說明
< 小於 > 大於
<= 小於或等於 >= 大於或等於
== 等於 ~= 不等於

⚠️ 注意：MATLAB 使用 ~= 表示不等於，不是 !=

8.2 邏輯運算子

運算子 函式 說明
& and(a,b) 逐元素 AND
| or(a,b) 逐元素 OR
~ not(a) 邏輯 NOT
&& — 短路 AND（用於純量，if/while 常用）
|| — 短路 OR（用於純量，if/while 常用）
xor(a,b) — 互斥 OR

8.3 檢查用函式

函式 說明
all(x) 所有元素非零則回傳 1（True）
any(x) 有任一元素非零則回傳 1
find(x) 非零元素的索引位置
isfinite(x) 元素是否為有限值
isinf(x) 元素是否為無限值
isnan(x) 元素是否為 NaN
isnumeric(x) 是否為數值型別
isempty(x) 是否為空陣列
isstr(x) / ischar(x) 是否為字串
islogical(x) 是否為邏輯型別
isinteger(x) 是否為整數型別

9. 控制流程

for 迴圈

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% 基本用法
for i = 1:10
    disp(i);
end

% 自訂步長
for x = 0 : 0.5 : 2
    disp(x);
end

% 迭代陣列
for col = A      % A 的每一行（column）
    disp(col);
end

while 迴圈

1
2
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5
x = 1;
while x < 100
    x = x * 2;
end
disp(x);

if / elseif / else

1
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score = 85;

if score >= 90
    disp('A');
elseif score >= 80
    disp('B');
elseif score >= 70
    disp('C');
else
    disp('F');
end

switch / case

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day = 3;

switch day
    case 1
        disp('Monday');
    case 2
        disp('Tuesday');
    case 3
        disp('Wednesday');
    case {6, 7}          % 多值可用 cell array
        disp('Weekend');
    otherwise
        disp('Unknown');
end

迴圈控制關鍵字

關鍵字 說明
break 立即跳出最近的迴圈
continue 跳過本次迭代，繼續下次
return 結束目前函式/腳本

10. 輸入輸出與特別函式

函式 說明
input('msg') 提示使用者輸入數值
input('msg', 's') 提示使用者輸入字串
disp(x) 顯示數值或字串（不顯示變數名）
fprintf('fmt', x) 格式化輸出（類似 C 的 printf）
sprintf('fmt', x) 格式化字串（不輸出，回傳字串）
pause(n) 暫停 n 秒
pause 暫停，等待任意鍵
waitforbuttonpress 等待鍵盤或滑鼠點擊
beep 發出系統提示音

fprintf 格式符號：

1
2
3
fprintf('Value = %d\n', 42);     % 整數
fprintf('Pi = %.4f\n', pi);      % 浮點數（4位小數）
fprintf('Name = %s\n', 'MATLAB'); % 字串

11. 常用指令

指令 說明
who 列出工作區所有變數名稱
whos 列出變數詳細資訊（含大小與型別）
clear 清除所有變數
clear x 清除指定變數 x
clc 清除命令視窗輸出
close all 關閉所有圖形視窗
edit 開啟腳本編輯器
help func 查詢函式說明
doc func 開啟函式詳細文件
echo on 執行腳本時顯示每行指令
echo off 不顯示腳本內容（預設）
quit / exit 結束 MATLAB
tic / toc 計時開始 / 顯示經過時間

快速記憶表：取整四函式比較

ceil floor round fix
方向 往 +∞ 往 -∞ 最近整數 往 0
2.3 3 2 2 2
2.7 3 2 3 2
-2.3 -2 -3 -2 -2
-2.7 -2 -3 -3 -2

快速記憶表：mod vs rem

mod(x, y) rem(x, y)
餘數符號 與除數 y 相同 與被除數 x 相同
mod(7, 3) 1 1
mod(-7, 3) 2 -1
mod(7, -3) -2 1

📝 建議學習資源

  • MATLAB 官方文件：mathworks.com/help/matlab
  • 使用 help <函式名> 或 doc <函式名> 在 MATLAB 中查詢即時說明